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摘要：在变形过程中，变形区中各点处的应力状态差异很大，且同一点在变形过程中的不同时刻其应力状态也不相同，因而所引起的变形结果也各异。应力状态的变化过程可用屈服表面上的加载轨迹来描述，本文以镦粗为例对变形区中的不同点在屈服表面上的加载轨迹进行了研究。
关键词：应力状态 镦粗 屈服表面 加载轨迹

1 引言

在变形过程中，变形区中各点处的应力状态是不断变化的，其变化过程可用屈服表面上相对的曲线来描述，该曲线就是点在屈服表面上的加载轨迹。对于平面应力状态，Mises屈服准则所对应的几何图形为椭圆，所以塑性变形区中点的加载轨迹一定沿椭圆进行[1-3]，对于三向应力状态，文献[2]给出了屈服表面的展开图形，但尚未给出实际工序的加载轨迹，其原因在于三向应力状态的数值难于定量给出。为了便于对变形区中各典型点处的应力应变从总体上进行比较，并从加载轨迹上预报变形后工件尺寸的变化。本文利用有限元法对柱形坯料镦粗过程的模拟结果，探讨工件中的应力、应变等场变量在屈服表面上的变化情况，即对屈服表面上的加载轨迹进行研究。其目的是想通过对这个最简单的和最基本的成形工序的分析，来得出某些带有普遍意义的结论，从而为掌握工件尺寸的变化趋势及对成形过程中工艺塑性的预测提供一条有效的途径。

2 三向应力状态屈服表面的展开图形

任意一点的应力状态在主应力空间都可以用一个应力向量来表示。当材料进入塑性状态时，描述该点处的应力状态的点必位于主应力空间中的Mises圆柱表 面（见图1）上，对于理想刚塑性体，Mises圆柱的半径为一常数 ，Mises圆柱面直观地给出了弹性区和塑性区的分界线。若描述应力状态的点位于屈服面以内，则该点处于弹性状态；位于屈服面上，则该点处于塑性状态；而当物体承受三向等拉或三向等压应力状态时，应力状态位于Mises圆柱的轴线OE上，此时不管应力的绝对值多大，都不可能产生塑性变形。

在主应力空间中（见图2），应力向量OP可以分解为沿Mises圆柱轴线OE方向的分量ON（球张量）及平行于π平面的分量及NP（偏张量），对于理想刚塑性体，向量NP的长度是不变的，所变的只是NP所处的方位。于是可以用平均应力σm及π平面中的向量NP与σ1轴投影的夹角θ（图3）来描述一点的应力状态[1]。即：

式中r0=σs(2/3)。在（1）左端为零时可得出图4中的三条曲线，它们可作为计量主应力的起点。由于这些曲线每隔120°就出现相同的图形，而且在每120°的范围内（例如0～120°，120°～240°，240°～0°区间）的图形是对称的，所以仅研究Mises圆柱表面的1/6圆周就可以代表最一般的情况，下面就为考察θ=0°～60°区间的情况，该区间即为σ1＞σ2＞σ3的区间。θ角通常称为应变特征角，θ=0°代表单向拉伸；θ=30°则为平面应变；θ=60°代表单向压缩[1]。

将该区间内的Mises圆柱表面展开，即可得出图5[1]，从式（1）及图5均可看出，当r0一定时，用σm及θ表示一点的应力状态与用σ1,σ2,σ3表示一点的应力状态是等价的，若应力状态一定，则应变（增量）状态也相应地被确定。图5中L线代表简单拉伸应变类型（dε1＞0，dε2= dε3＜0）；M线代表平面应变类型（dε1=－dε3，dε2=0）；N线代表简单压缩类应变类型（dε1= dε2＞0，dε3＜0）；L线与M线之间为伸长类应变类型；M线与N线之间为压缩类应变类型。应当指出，上述应变类型与应力的绝对值无关。利用该图还可以确定所分析的塑性加工工序或其变形区中的点在Mises圆柱展开面上的位置及各方向尺寸的变化趋势，若某个塑性加工工序或同一工序中不同位置处的点在图5中所处的位置越低，则压应力越显著，塑性越高，反之塑性越差。

本文对加载轨迹的研究即是在图5中的圆柱展开面上对应力应变状态的变化情况进行分析。例如，若变形区中某点在屈服表面上的加载轨迹为曲线PQ（图5），即该点处的初始应力状态及相应的应变特征角θ处于图5中的P点，此时属于压缩类应变状态，随着变形过程的进行，该点所受到的压应力的绝对值越来越大，其应变类型也发生了变化：由压缩类变形逐渐变为伸长类应变（Q点处于伸长类应变状态）。

作为三向应力状态的特例，平面应力状态也完全可以表示在主应力空间中，并且其加载轨迹也同样可以在Z形图中表示出来。但对于平面应力状态，其加载轨迹可以更清楚的表示于σ1σ2平面内的屈服椭圆上，参见文献[3]。

3 柱形坯料镦粗在屈服表面上的加载轨迹

3.1 柱形坯料镦粗的计算条件

本文对柱形坯料镦粗过程所进行的数值模拟是以下条件下进行的：

1）坯料原始尺寸为φ80×60mm，由于对称性，只对坯料的1/4进行分析。
2）采用理想刚塑性材料模型，流动应力σs=200MPa。
3）工件与模具之间的摩擦力采用反正切模型，摩擦因子m=0.4。
4）模具速度ud=1mm/s。
5）加载时间步长取为0.5s，即每加载步模具压下0.5mm，共压下12.5mm，即高度减缩率为41.7%。

根据模拟得到的数值结果，对图6中所示的5个典型点处的应力状态进行处理，可得到变形过程中的σm-θ平面展开图（如图7所示），图8为环向应力的等值线图。

3.2 变形区中不同位置处平均应力变化趋势的比较

如图7所示，在整个变形过程中，图示各点的平均应力均为负值，且随着模具压下量的增加，点1、2、3、4处的平均应力的代数值越来越小，表明静液压力越来越大，而在出现鼓肚的点5处，其平均应力逐渐由负值（压应力）变到零，继续变形还有变为正值的趋势。

从平均应力的数值上看，在变形初期，点2、3、4处平均应力的代数值较小（静液压力较大），且点4处的平均应力一开始就较小，点1、5处的平均应力代数值较大，而点5处的平均应力代数值最大。从平均应力的变化趋势上看，随着变形的进行，除点5外，其余四点的平均应力均逐渐减小，点1、2处的平均应力下降较快，点3、4处的平均应力下降不多。

相比之下，点5处平均应力的变化趋势与其余四点相反：随着变形的进行，该点处的平均应力逐渐上升，最后由负值变为零。图7中显示变形终止时点5处已出现鼓肚，而此时该点处的平均应力已变为零，可以推断此时至少有一个正应力为正值。由环向应变代数值最大并根据应力应变顺序对应规律可知，此时的最大应力为环向应力，故环向应力必为正值，即鼓肚处已经出现环向拉应力，这是镦粗时坯料出现纵向裂纹的一个重要原因。图8给出了高度减缩率为.7%和41.7%时环向应力σθ的等值线图，由图可见，随着变形量的增加，环向拉应力的数值不断上升，变形结束时，环向拉应力区域（图8中的阴影部分）仍很大，这是镦粗时产生纵向裂纹的根本原因，由该图还可看出，环向拉应力区域沿径向有一定的深度，所以表面一旦开裂，裂纹将迅速由表面内扩展，形成具有一定深度的裂纹。

人们普遍认为，对于镦粗过程，坯料对角线附近区域为剧烈变形区；点1附近的区域为困难变形区，位于工件中心部位点4处的金属由于受周围金属的约束，其静液压力将是最大的。从图7可以看出，变形初期点4处的静液压力的确是最大的，而点5处的静液压力是最小的，其原因在于点5接近于自由表面且受内部金属向外胀的力的作用，因而其静液压力较小。由图7还可以看出，在变形初期，点1处的静液压力比想象的要小，其原因可能是该处靠近工件模具接触面的中心且并未发生显著的变形流动，因而受到的约束力并不显著。

3.3 从应变特征角θ的变化看变形类型的变化趋势

如图7所示，在整个变形过程中，点1、4处的θ角稳定在60°附近，几乎不发生变化，θ角不发生变化表明在变形过程中，该点处的应力状态在屈服表面上是沿屈服圆柱的某一条母线直线前进的，而不是螺旋上升的。前已指出，当θ角为0°时，表明该点属于简单伸长类变形，θ角为30°代表平面变形，而θ角为60°则代表简单压缩类变形。因此靠近对称轴的点1、4处的变形类型为简单压缩类，其变形结果和单向压缩差不多，原因就在于点1、4位于对称轴附近，金属的塑性流动受周围金属的约束比较均匀，因而该点处的变形结果与单向压缩基本一致。

同时还可看出，点2在整个变形过程中其变形类型始终为压缩类，尽管起初偏离简单压缩类（θ=60°）较远，但其走势是趋向于简单压缩的，点3处θ角的变化量也较小，且该角度在变形后期接近于60°，表明随着变形的进行，点3处的变形类型也逐渐接近于简单压缩类。而点5处的θ角逐渐减小并向30°靠近，即该点处的压缩类变形逐渐减弱，并逐渐由压缩类向平面变形类发展，变形后期该点处的变形特征为高度方向的压缩应变增量与环向应变增量几乎相等，且其径向应变增量几乎为零。

4 结论

1）塑性变形区中的应力状态可以在屈服表面上用相应的点来描述，用平均应力σm及应变特征角θ表示的屈服圆柱展开面σm-θ与由主应力σ1,σ2,σ3表示的屈服面是等价的，但后者比前者更直观。

2）由σm-θ图中的加载轨迹不仅可以看出主应力σ1,σ2,σ3的变化，同时还可以看出应变类型的变化。

3）变形体中不同部位的应力状态有较大的差异，且同一点在不同的变形阶段其应力状态也不相同，因而各点在主应力空间中都有独立的加载轨迹，导致各处的应变状态不同且主应变方向的转角不同。对于柱形坯料镦粗，鼓肚表面处的平均应力代数值最大，并且一开始变形就出现了环向拉应力，这是该处易出现纵向裂纹的一个重要原因；在坯料对角线附近的区域中，应变分量εr及εz的绝对值均大于工件模具接触面中心及鼓肚中心处的相应值，说明对角线附近为剧烈变形区。

4）镦粗时鼓肚表面处在整个变形过程中，近似为平面应力状态，并且随着变形的进行，该处的应变类型逐渐由压缩类向平面应变类发展。(end)